魏尔斯特拉斯逼近定理

定义

对于紧致豪斯多夫空间 (X,τ) 以及 A⊆ C(X,R)，我们定义 A 是一个代数 (algebra) 如果 A 是一个实数子空间，并且对于所有 f,g∈ A， fg∈ A。 A 分离相异点(separates points)如果对于所有相异 x,y∈ X，存在 f∈ C(X,R) 使得 f(x)≠ f(y)。 A 是一个晶格 (lattice) 如果对于所有 f,g∈ A， min(f,g),max(f.g)∈ A。

叙述

对于紧致豪斯多夫空间 (X,τ) 以及分离相异点的闭子代数 A⊆ C(X,R)，那么 A 是以下两个情况之一： A=C(X,R)；

存在一个 x₀∈ X 使得 （公式略）。

且(1)当且仅当 1∈ A；(2)当且仅当存在 x₀∈ X 使得对于所有 g∈ A

g(x₀)=0。

注意：由于 A 分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的 x₀ 是唯一的。

证明

引理Ａ：如果将 R ² 视为一个实数向量空间，且两向量间乘法定义为 （公式略），那么 R ² 是个代数。且所有子代数只能是以下几个情况： R ²； （公式略）； v 的线性生成空间，其中 v=(1,0),(0,1),(1,1)。

证明：显然，(1), (2)跟(3)都是子代数。如果 A⊆ R ² 是一个子代数，那么因为 A 是一个子空间。那么如果 dim(A)=0,2，对应到(1), (2)。如果 dim(A)=1，那么存在一个非零向量 v=(a,b) 使得 A=span(v)。那么因为 A 是一个代数，存在 λ ∈ R 使得 a²=λ a,b²=λ b。所以 a(λ -a)=0,b(λ -b)=0。如果 a≠ 0,b≠ 0，那么 a=b=λ，对应到(3)中 v=(1,1) 的情况；如果 a,b 其一非零，则对应到(3)中 v=(0,1),(1,0) 的情况。 （公式略） 引理B：对于豪斯多夫空间 X 和分离相异点的子代数 A⊆ C(X,R)，以及相异点 x,y∈ X，定义 （公式略）。那么只能是以下两个情况：

对于所有相异 x,y∈ X,A_(xy)=R ²。

存在一组相异 （公式略）。

另外，(2)等价于存在一个 x₀∈ X 使得对于所有 g∈ A， g(x₀)=0。

注意：由于 A 分离相异点，在(2)的等价(不论哪个方向)中的 x₀ 是唯一的。证明：显然，对于所有相异 x,y∈ X,A_(xy) 是一个子代数。根据引理A，只需要证明对于所有相异 x,y∈ X,A_(xy) 不可能是 （公式略），但这显然成立，因为 A 分离相异点以及。

接着证明(2)的等价：如果存在一组相异 （公式略），那么根据 A_(xy) 的定义，存在一个 x₀∈ X 使得对于所有 g∈ A， g(x₀)=0。相反地，如果存在一个 x₀∈ X 使得对于所有 g∈ A， g(x₀)=0，那么对于所有相异于 x₀ 的 y∈ X，我们有 （公式略）。 （公式略） 引理C：对于任意 ε >0，存在一个实多项式 P 使得 P(0)=0，且对于所有 x∈ [-1,1]， ||x|-P(x)|<ε。证明：令 P₀≡ 0， （公式略）。那么根据数学归纳法可以证明：

对于所有 x∈ [-1,1]， 0≤ Pₙ(x)≤ Pₙ₊₁(x)≤ |x|。

对于所有 x∈ [-1,1]， ||x|-Pₙ(x)|≤ |x|(1-(|x|)/2)ⁿ。

因为 |x|(1-(|x|)/2)ⁿ≤ 1/(n+1)，得证。 （公式略） 引理D：对于紧致豪斯多夫空间 X 和闭子代数 A⊆ C(X,R)，如果 g∈ A，那么 |g|∈ A，且 A 是一个晶格。证明：对于非零函数 g∈ A，令 （公式略），其中 （公式略） 是在 X 上的无穷范数。那么因为 -1≤ h≤ 1 根据引理C，存在一个存在一个实多项式 P 使得 P(0)=0，且对于所有 x∈ X，有 ||h(x)|-P(h(x))|<ε。因为 P(0)=0，所以 P(h(x))∈ A。因为 ε >0 是任意的，所以 （公式略）。对于任意 （公式略）。 （公式略） 引理E：对于紧致豪斯多夫空间 X 和闭晶格 A⊆ C(X,R)，如果 f∈ C(X,R)，且对于所有 x,y∈ X，存在 g_(xy)∈ A 使得 g_(xy)(x)=f(x),g_(xy)(y)=f(y)，那么 f∈ A。证明： 给定 ε >0，对于所有 x,y∈ X，令 （公式略）。那么根据条件，对于所有 x,y∈ X， x,y∈ U_(xy)∩ V_(xy)。于是对于任意 y∈ X， （公式略） 是一个 X 的开覆盖。因此存在 n_(y)∈ N 使得 （公式略）。注意到这等价于对所有 z∈ X，存在一个 j=1,⋯,n_(y) 使得 f(z)<gₓⱼy(z)+ε。于是，如果令 g_(y)(z)=max ⱼ=1,⋯,n_(y)gₓⱼy(z)，那么对于所有 z∈ X,f(z)<g_(y)(z)+ε 且对于所有 （公式略）。令 （公式略），那么因为 （公式略） 是是一个 X 的开覆盖。存在 y₁,⋯,yₘ∈ X 使得 （公式略）。令 g=min _(k=1,⋯,m)g_(y)ₖ。于是 （公式略）。因为 A 是个闭晶格， （公式略）。 （公式略）

定理证明：

我们宣称以下等价：

对于所有相异 x,y∈ X， A_(xy)=R ²，其中 A_(xy) 如引理B中所述； 1∈ A； A=C(X,R)。

显然，我们有(3) （公式略） (2)。假设(2)成立，那么 A_(xy) 就不可能是 （公式略）。所以根据引理Ｂ，(1) 成立。假设(1)成立，那么给定任意 f∈ C(X,R) 以及相异 x,y∈ X，有 (f(x),f(y))∈ R ²=A_(xy)，所以存在 g_(xy)∈ A 使得 (f(x),f(y))=(g_(xy)(x),g_(xy)(y))。另外，对于 x∈ X，根据引理B中(2)的等价，存在 gₓ∈ A 使得对于 gₓ(x)≠ 0。因此 f(x)=g(x)，其中 （公式略）。于是，根据引理D以及引理E， f∈ A。因为 f∈ C(X,R) 是任意的，(3)成立。

类似地，我们宣称以下等价：

存在相异 x,y∈ X， A_(xy)=span(0,1),span(1,0)，其中 A_(xy) 如引理B中所述；

存在 x₀∈ X 使得对于所有 g∈ A,g(x₀)=0；

存在 x₀∈ X 使得 （公式略）。

(1) （公式略） (2)已由引理B给出且(3) （公式略） (2)显然。因此，仅须证明(2) （公式略） (3)。假设(2)成立，那么显然有 （公式略）。注意到因为 A 分离相异点，该 x₀ 唯一。 给定 g∈ C(X,R) 且 g(x₀)=0。给定相异 x,y∈ X，如果 x,y≠ x₀，那么根据引理B (的证明)， A_(xy)=R ²，所以存在 g_(xy)∈ A 使得 (g(x),g(y))=(g_(xy)(x),g_(xy)(y))。如果 x,y 其一为 x₀，那么根据 x₀ 的唯一性， （公式略），因此一样有 g_(xy)∈ A 使得 (g(x),g(y))=(g_(xy)(x),g_(xy)(y))。

给定任意 x∈ X，如果 x=x₀，那么 g(x₀)=0(x₀)，其中 0∈ A 指零函数。如果 x≠ x₀，那么根据 x₀ 的唯一性，存在 gₓ∈ A 使得 gₓ(x)≠ 0，因此 g(x)=g(x)，其中 （公式略）。于是，根据引理D以及引理E， f∈ A。因为 f∈ C(X,R) 是任意的，(3)成立。

非紧致空间

根据亚历山德罗夫紧化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非紧致的局部紧致豪斯多夫空间中，叙述如下：叙述：给定一个非紧致的局部紧致豪斯多夫空间 X 以及在 X 在无穷远处消失(vanishes at infinity)的实连续函数集 C₀(X,R) (也就是说，对于任意 ε >0， （公式略） 是一个紧致集)。如果 A⊆ C₀(X,R) 使一个分离相异点的闭子代数，那么 A 是以下两个情况之一： A=C₀(X,R)；

存在一个 x₀∈ X 使得 （公式略）。

复数域

在复数域中，包含常数函数 1 的闭子代数 A⊆ C(X,C) 并不会都与 C(X,C) 相等。不过如果 A 对于共轭映射 （公式略） 封闭，那么有类似的结论：叙述：对于紧致豪斯多夫空间 (X,τ) 以及分离相异点，且对共轭封闭的的闭子代数 A⊆ C(X,C)，那么 A 是以下两个情况之一： A=C(X,C)；

存在一个 x₀∈ X 使得 （公式略）。