柯西－利普希茨定理

局部定理

设E为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

其中U为E中的一个开集，I是 R 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

那么对于任一给定的初始条件： x(t₀)=x₀，其中 t₀∈ I、 x₀∈ U，微分方程（1）存在一个解 (J,x(t))，其中 J⊂ I 是一个包含 t₀ 的区间， x(t) 是一个从 J 射到 U 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点 t₀ 的足够小的 J 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ x(t₀)=x₀）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 yₙ₊₁=Φ (yₙ)，使得 Φ ^(′)(yₙ)=f(yₙ,t)，这样，如果这个序列有一个收敛点 y，那么 y 为函数 Φ 的不动点，这时就有 y^(′)=Φ ^(′)(y)=f(y,t)，于是我们构造出了一个解 y。为此，我们从常数函数 （公式略） 开始。令 Φ (yᵢ)(t)=x₀+∫ ₜ₀^(t)f(yᵢ(s),s) ds.

这样构造出来的函数列 (yᵢ)_(i≥ 0) 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f 在 U 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候， Φ 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 Φ 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解 (J,x(t))、 (J^(′),x^(′)(t))，定义一个序关系： (J,x(t)) 小于 (J^(′),x^(′)(t)) 当且仅当 J⊂ J^(′)，并且 x^(′)(t) 在 J 上的值与 x(t) 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程 F(t,y(t),y^(′)(t)⋯ y⁽ⁿ⁻¹⁾(t))=y⁽ⁿ⁾(t) (2)，

只需构造向量 Y(t)=(y(t),y'(t), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) 和相应的映射 Φ，就可以使得（2）变为 Y^(′)(t)=Φ (Y(t),t)。这时的初始条件为 Y(t₀)=Y₀，即 （公式略）

扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。